Come si costruisce un tangram.
0. Come si lavora
1. Inizio
2. I due triangoli grandi
3. Il triangolo medio
4. Il quadrato e il primo triangolo piccolo
5. Il parallelogrammo e il secondo triangolo piccolo
1. Come si lavora
Non conviene utilizzare né forbici né unghie, per non andare storto e per avere il tempo di eventualmente correggere una linea poco diritta, ma anche per "imporre", nella maniera più dolce e giocosa di cui siamo capaci, dei tempi lenti, che consentano un'accurata osservazione, che possano essere riempiti di domande e intuizioni.
E' importante lavorare con calma, ripetere molte volte le piegature fino a vincere la resistenza delle fibre. Noi aiuteremo questo paziente lavoro girando tra i banchi e ripetendo insieme a loro istruzioni e movimenti. Parleremo a voce bassa, lentamente. Insisteremo sul lavorare in modo accurato e senza fretta, per permettere anche agli alunni meno abili di arrivare a completare in modo soddisfacente l'operazione.
Non voglio insistere troppo su questo aspetto, anche se è essenziale. Non guasta un po' d'ironia per vincere le proteste degli iperattivi. Vale la pena che emerga l'aspetto giocoso dell'attività senza però troppe concessioni allo sbraco.
Distribuiremo ad ogni alunno un foglietto (delle dimensioni di mezzo foglio DINA4) e cominceremo a chiedere che ne ottengano un quadrato. Normalmente c'è chi lo sa fare utilizzando la DIAGONALE, altrimenti lo suggeriremo noi.
Elimineremo il rettangolo che avanza piegandolo ripetutamente da entrambi i lati del foglio e marcando la linea di frattura con i polpastrelli.
Già la prima, semplice
operazione di ricavare il quadrato ci permette di introdurre un paio di riflessioni
matematiche molto ricche (almeno per gli alunni della primaria o di prima media),
come:
-le caratteristiche del quadrato: quadrilatero, parallelismo e perpendicolarità tra lati, uguaglianza tra angoli, uguaglianza tra lati, concetto di diagonale....
-il confronto tra angoli e tra lati attraverso la sovrapposizione: concetto di congruenza; confronto tra le lunghezze di lato e diagonale...
Siamo arrivati al momento di tagliare il rettangolino sottostante al quadrato.
Conviene eliminare tale rettangolo per non confonderlo poi con i pezzi del tangram.
Ripassiamo la piega che divide il quadrato in due triangoli, marcandola bene, piegandola da entrambe le parti.
E' importante ripassare molte volte questa piegatura, perché ci prepariamo a uno degli strappi più difficili del tangram, dovendo dividere in due parti un vertice e non un lato. Quando siamo sicuri di avere vinto la resistenza delle fibre della carta, separiamo i due grossi triangoli.
Abbiamo ottenuto due figure che analizzeremo prima separatamente e poi comparandole.
-Classificazione: triangoli rettangoli e isosceli (concetto di classificazione secondo i lati e secondo gli angoli);
-Caratteristiche: un angolo retto, due angoli acuti (un triangolo può avere due angoli retti?); i due angoli acuti sono uguali (posso verificare che la loro somma forma un angolo retto e che quindi ciascuno misura 45º?); due lati uguali (tutti i triangoli isosceli hanno obbligatoriamente due angoli uguali e due lati uguali? E i triangoli equilateri sono sempre equiangoli? Un triangolo rettangolo può essere equilatero?)
-Confronto: i due triangoli hanno lati e angoli uguali: sono congruenti (avranno anche la stessa area? e il perimetro?)
NOTA: come già detto, le domande riportate non esauriscono sicuramente gli argomenti e servono solo a fornire un esempio della quantità di geometria che è possibile affrontare, sfiorare, introdurre o richiamare. Ogni classe potrà gestire gli argomenti a seconda dell'età, dei prerequisiti teorici posseduti, dell'interesse, ecc. Sarebbe auspicabile stimolare gli alunni ad intervenire, a porre domande e a contribuire a creare quel clima di "brain storming" che è sicuramente uno degli aspetti più proficui dell'attività proposta.
Lo schema di discussione sopra proposto, dovrà essere utilizzato in ogni fase del lavoro, ogni volta che da piegatura e taglio (sempre senza forbici!) delle nostre figure, compariranno altre forme geometriche, a volte provvisorie e altre volte definitive.
Via via che otterremo questi pezzi, emergeranno diversi concetti geometrici e diversa complessità. Così, nonostante l'attività pratica (ottenere i sette pezzi del tangram) sia la stessa, ben differente risulterà la discussione, la teorizzazione dei temi trattati e la loro formalizzazione matematica alle diverse età.
Rinuncio a evidenziare, classe per classe, tutti gli argomenti, le domande e le proposte e mi limiterò ad alcune che mi sembrano rimarchevoli, rimandando un elenco più completo al summenzionato schema finale.
Accantoniamo momentaneamente uno dei due triangoli. L'altro triangolo lo divideremo in due parti tagliandolo lungo l'altezza relativa alla ipotenusa. Otterremo due triangoli rettangoli isosceli congruenti, che classificheremo, analizzeremo e confronte-remo.
Potremo confrontarli anche con il triangolo grande che c'è rimasto:
-gli alunni di prima media potranno analizzare il rapporto tra le aree (1/2) ed evidenziare che tra i perimetri non si dà un tale rapporto.
(Questo confronto andrebbe condotto senza utilizzare numeri e operazioni, ma per sovrapposizione di lati, magari utilizzando il compasso come rapportatore.
-gli alunni di seconda e terza media potranno calcolare i perimetri (teorema di Pitagora) ed affrontare il concetto di similitudine (angoli congruenti, rapporto tra lati, rapporto tra aree, rapporto tra perimetri, rapporto di similitudine...).
Potranno anche formare un quadrato con i due triangoli e, confrontandolo con il triangolo grande, affrontare il concetto di equiestensione/equivalenza.
I due triangoli rettangoli isosceli sono i primi due pezzi del tangram e li chiameremo Nº1 e Nº2.
Il triangolo grande
rimasto genererà gli altri cinque pezzi del tangram.
Sovrapponendo i due angoli acuti, potremo, senza piegare il triangolo, marcare il punto medio dell'ipotenusa (P).
Faremo poi coincidere il vertice dell'angolo retto con tale punto medio; marcheremo la piegatura (parallela all'ipotenusa) e, dopo le solite ripetute piegature e pressioni tra i polpastrelli, strapperemo con molta attenzione (anche questo taglio, che viene condotto su un lato, ma con una direzione non perpendicolare, è tra quelli più difficili e necessita di particolare cura).
Avremo ottenuto un triangolo e un trapezio isoscele.
Accantoniamo per un momento il trapezio e analizziamo il triangolo:
-Classificazione: triangolo rettangolo e isoscele;
-Caratteristiche: le solite;
-Confronto: con il triangolo 1: i due triangoli hanno angoli uguali: sono congruenti? Sono equivalenti? Sono simili? (Notare: l'ipotenusa del piccolo è uguale al cateto del grande)
Questo nuovo triangolo rettangolo isoscele sarà il pezzo Nº3.
4. Il quadrato e il primo triangolo piccolo
Mettiamo da parte il
pezzo Nº3 e concentriamoci sul trapezio isoscele, che però è un pezzo non definitivo,
la cui analisi è facoltativa e ci può servire solo se vogliamo introdurre un
lavoro sui quadrilateri.
Facciamo coincidere gli angoli acuti del trapezio e pieghiamo in due la figura. Dopo le solite manipolazioni, tagliamola in due parti: avremo ottenuto due trapezi rettangoli.
Anch'essi sono figure di transizione e quindi vale, per la loro analisi, quanto detto per il trapezio isoscele.
Mettiamo da parte un trapezio e dividiamo l'altro in modo da ottenere un quadrato (pezzo Nº4) e un triangolo (pezzo Nº5) .
Le attività che si possono sviluppare sono:
-classificazione del pezzo Nº5;
-confronto tra le aree del triangolo Nº5 e il quadrato Nº4;
-confronto tra il quadrato Nº4 e quello formato dall'unione dei triangoli Nº1 e Nº2 (similitudine);
-confronto tra il triangoli Nº5, Nº3 e Nº1 (similitudine);
-confronto tra le aree del quadrato Nº4 e del triangolo Nº3 (equivalenza).
5. Il parallelogrammo e il secondo triangolo piccolo
L'altro trapezio rettangolo va diviso per formare un triangolo (pezzo
Nº6) e un parallelogramma (pezzo Nº7). Per farlo, occorre riportare il vertice
dell'angolo retto formato dall'altezza sulla base maggiore a sovrapporsi parzialmente
all'angolo ottuso formato da lato obliquo e base minore, e quindi, dopo accurate
piegature e contropiegature (questa è un altra delle sezioni difficili), tagliare.
Dopo aver classificato le due figure, andranno fatti i seguenti confronti:
-pezzo Nº6 con pezzo Nº7 (confronto tra aree);
-pezzo Nº6 con pezzo Nº5 (congruenza);
-pezzo Nº7 con pezzi Nº3 e Nº4 (equivalenza): è interessante, anche per gli alunni delle elementari, verificare come con i triangoli piccoli, disposti in modo diverso, si possano ottenere sia il triangolo medio (Nº3), che il quadrato (Nº4), che il parallelogramma (Nº7), senza bisogno di calcoli o formule, anche se da tale confronto si potrebbero ricavare utili indizi per determinare o comprendere le formule per il calcolo delle aree di tali figure.
